MathLabs

第3問

次を満たす整数 n>3n>3 をすべて求めよ。平面上に3点が一直線上にない nn 点 A1,…,AnA_1,\ldots,A_n と実数 r1,…,rnr_1,\ldots,r_n が存在し、相異なる i,j,ki,j,k に対して三角形 AiAjAkA_iA_jA_k の面積が ri+rj+rkr_i+r_j+r_k となる。
ステップ 2/4: 等しい重みから三つの幾何条件を得る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

同じ底辺に対する等しい面積は等しい高さを強いる。

r4=r5⟹A4A5∥AiAj or mid⁡(A4A5)∈AiAjr_4=r_5\Longrightarrow A_4A_5\parallel A_iA_j\text{ or }\operatorname{mid}(A_4A_5)\in A_iA_j
詳しい解説

r4=r5r_4=r_5 なら、AiAjA4A_iA_jA_4 の各二点を底辺とする AiAjA5A_iA_jA_5 の面積が等しい。従って A1,A2,A3A_1,A_2,A_3 が底辺の同じ側なら A4A5∥AiAjA_4A_5\parallel A_iA_j、反対側なら A4A5A_4A_5 の中点が AiAjA_iA_j 上にある。三つの底辺のうち二つは同じ型になり、A1,A2,A3A_1,A_2,A_3 の非共線性に反する。