MathLabs

第3問

次を満たす整数 n>3n>3 をすべて求めよ。平面上に3点が一直線上にない nn 点 A1,…,AnA_1,\ldots,A_n と実数 r1,…,rnr_1,\ldots,r_n が存在し、相異なる i,j,ki,j,k に対して三角形 AiAjAkA_iA_jA_k の面積が ri+rj+rkr_i+r_j+r_k となる。
ステップ 3/4: 任意の五点配置で等しい重みを強いる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

凸包の場合分けはすべて同じ線形関係を与える。

r4=r5r_4=r_5
詳しい解説

凸五角形では二つの四角形を三角形に分割して r1+r3=r2+r4r_1+r_3=r_2+r_4 と r1+r3=r2+r5r_1+r_3=r_2+r_5 を得るので r4=r5r_4=r_5。凸包が四角形なら内部点を適切に選んだ二つの四角形から r3=r5r_3=r_5。凸包が三角形なら二つの内部点で三角形分割した面積総和を比較して r4=r5r_4=r_5。従って五点配置は常に等しい重みを持ち、前段階に矛盾する。