MathLabs

第4問

x0=x1995x_0=x_{1995} を満たす正の実数列 x0,x1,…,x1995x_0,x_1,\ldots,x_{1995} が存在し、i=1,…,1995i=1,\ldots,1995 で xi−1+2xi−1=2xi+1xix_{i-1}+\frac2{x_{i-1}}=2x_i+\frac1{x_i} となるとき、x0x_0 の最大値を求めよ。
ステップ 3/4: 奇数長の閉路を評価する
ざっくり言うと

逆数回数が偶数なら半分回数も偶数を要求し、ここでは不可能。

r is odd,2t0=c≤1994r\text{ is odd},\quad 2t_0=c\le1994
詳しい解説

19951995 回の操作がある。rr が偶数なら閉路条件 t1995=t0t_{1995}=t_0 は半分操作の交代和をゼロとし、半分操作の総数 1995-r を偶数にする必要がある。しかし 1995−r1995-r は奇数なので矛盾。従って rr は奇数である。このとき閉路条件は 2t0=c2t_0=c。半分操作は高々 19941994 回なので c≤1994c\le1994、従って t0≤997t_0\le997、x0≤2997x_0\le2^{997} である。