第4問

x_0=x_{1995}

を満たす正の実数列

x_0,x_1,\ldots,x_{1995}

が存在し、

i=1,\ldots,1995

で

x_{i-1}+\frac2{x_{i-1}}=2x_i+\frac1{x_i}

となるとき、

x_0

の最大値を求めよ。

ステップ 4/4: 上界を達成する

ざっくり言うと

1994 回半分にして一度逆数を取れば出発点に戻る。

H^{1994}(2^{997})=2^{-997},\quad I(2^{-997})=2^{997}

詳しい解説

$x_0=2^{997}$ から $H$ を $1994$ 回、その後 $I$ を一回適用する。 $H^{1994}(2^{997})=2^{-997}$ 、 $I(2^{-997})=2^{997}$ となり列は閉じ、上界を達成する。最大値は $2^{997}$ 。