MathLabs

第5問

ABCDEFABCDEF を凸六角形とし、AB=BC=CDAB=BC=CD、DE=EF=FADE=EF=FA、∠BCD=∠EFA=60∘\angle BCD=\angle EFA=60^\circ とする。六角形内部の点 GG と HH が ∠AGB=∠DHE=120∘\angle AGB=\angle DHE=120^\circ を満たすとき、AG+GB+GH+DH+HE≥CFAG+GB+GH+DH+HE\ge CF を示せ。
ステップ 3/4: ポトレミー不等式を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

120度条件により折れ線が反射対角線以上になる。

C′G≤AG+GB,HF′≤DH+HEC'G\le AG+GB,\quad HF'\le DH+HE
詳しい解説

C′ABC'AB と正三角形 GG、および F′DEF'DE と HH にポトレミー不等式を適用する。∠AGB=∠DHE=120∘\angle AGB=\angle DHE=120^\circ より C′G≤AG+GBC'G\le AG+GB、HF′≤DH+HEHF'\le DH+HE を得る。