MathLabs

第5問

ABCDEFABCDEF を凸六角形とし、AB=BC=CDAB=BC=CD、DE=EF=FADE=EF=FA、∠BCD=∠EFA=60∘\angle BCD=\angle EFA=60^\circ とする。六角形内部の点 GG と HH が ∠AGB=∠DHE=120∘\angle AGB=\angle DHE=120^\circ を満たすとき、AG+GB+GH+DH+HE≥CFAG+GB+GH+DH+HE\ge CF を示せ。
ステップ 4/4: 不等式を結合する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

直線分は GG と HH を経由する折れ線より長くない。

CF=C′F′≤C′G+GH+HF′≤AG+GB+GH+DH+HECF=C'F'\le C'G+GH+HF'\le AG+GB+GH+DH+HE
詳しい解説

三角不等式より CF=C′F′≤C′G+GH+HF′CF=C'F'\le C'G+GH+HF'。二つのポトレミー不等式を代入すれば CF≤AG+GB+GH+DH+HECF\le AG+GB+GH+DH+HE となり、示された。