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国際数学オリンピック · 1997年

問題

  1. 第1問In plane, 点s を伴う整数 coordinates は頂点 のunit 平方s, colored alternately black およびwhite as 上のa chess盤. Fまたは正の整数 m,n m,n , consider a right 三角形 を伴う整数-coordinate 頂点 およびlegs の長さs m,n m,n along 平方 辺. とする。S1 S_1 be black 面積 およびS2 S_2 white 面積. Define f(m,n)=∣S1−S2∣ f(m,n)=|S_1-S_2| 翻訳：. (a) Calculate f(m,n) f(m,n) 翻訳： when m,n m,n はboth even またはboth odd. (b) 証明せよ f(m,n)≤max⁡(m,n)/2 f(m,n)\le\max(m,n)/2. (c) 証明せよ no 定数 C C 翻訳： satisfies f(m,n)<C f(m,n)<C すべての m,n m,n .解答: 1
  2. 第2問The 角 でA A はsmallest 角 における三角形 ABC ABC . The 点s B,C B,C divide its circum円 inへtwo arcs. とする。U U be an interiまたは点 のarc BC BC ないcontaining A A . The perpendicular bisectors のAB AB およびAC AC meet 直線 AU AU でV V およびW W , respectively. The 直線s BV BV およびCW CW meet でT T . 証明せよ AU=TB+TC AU=TB+TC .解答: 1
  3. 第3問とする。x1,x2,…,xn x_1,x_2,\ldots,x_n be 実数 satisfying ∣x1+x2+⋯+xn∣=1|x_1+x_2+\cdots+x_n|=1 および∣xi∣≤(n+1)/2|x_i|\le(n+1)/2 任意の i i . 証明せよ there はa 置換 y1,…,yn y_1,\ldots,y_n のxi x_i を満たす ∣y1+2y2+⋯+nyn∣≤(n+1)/2|y_1+2y_2+\cdots+ny_n|\le(n+1)/2.解答: 1
  4. 第4問翻訳：An n×n n\times n 行列 whose entries belong へS={1,2,…,2n−1} S=\{1,2,\ldots,2n-1\} はcalled a silver 行列 if, に対して各 i i , i i th 行 together を伴うi i th 列 contains すべてelements のS S . 証明せよ (a) there はno silver 行列 に対してn=1997 n=1997; (b) silver matrices exist に対してinfinitely many n n .解答: 1
  5. 第5問すべて求めよ pairs (a,b)(a,b) の正の整数 satisfying ab2=ba a^{b^2}=b^a .解答: 1
  6. 第6問Fまたは各正の整数 N N 翻訳：, let f(N) f(N) be 数 のways へrepresent N N as a 和 のpowers の22 を伴うnon-negative 整数 exponents; order の和mands はignored. Fまたはexample, f(4)=4 f(4)=4. 証明せよ 任意の 整数 n≥3 n\ge3, 2n2/4<f(2n)<2n2/22^{n^2/4}<f(2^n)<2^{n^2/2}.解答: 1