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第1問

In plane, 点s を伴う整数 coordinates は頂点 のunit 平方s, colored alternately black およびwhite as 上のa chess盤. Fまたは正の整数 m,n m,n , consider a right 三角形 を伴う整数-coordinate 頂点 およびlegs の長さs m,n m,n along 平方 辺. とする。S1 S_1 be black 面積 およびS2 S_2 white 面積. Define f(m,n)=∣S1−S2∣ f(m,n)=|S_1-S_2| 翻訳：. (a) Calculate f(m,n) f(m,n) 翻訳： when m,n m,n はboth even またはboth odd. (b) 証明せよ f(m,n)≤max⁡(m,n)/2 f(m,n)\le\max(m,n)/2. (c) 証明せよ no 定数 C C 翻訳： satisfies f(m,n)<C f(m,n)<C すべての m,n m,n .
ステップ 2/3: 翻訳：Handle opposite parity
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

翻訳：Handle opposite parity

f(m,n)≤max⁡(m,n)2f(m,n)\le\dfrac{\max(m,n)}2
詳しい解説

とする m m はodd およびn n even. Increase odd leg へm+1 m+1; enlarged 三角形 has equal legs even およびhence zero excess. The added 三角形 has base 11 およびheight n n , 面積 n/2 n/2, so original excess はでmost n/2≤max⁡(m,n)/2 n/2\le\max(m,n)/2.