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第1問

In plane, 点s を伴う整数 coordinates は頂点 のunit 平方s, colored alternately black およびwhite as 上のa chess盤. Fまたは正の整数 m,n m,n , consider a right 三角形 を伴う整数-coordinate 頂点 およびlegs の長さs m,n m,n along 平方 辺. とする。S1 S_1 be black 面積 およびS2 S_2 white 面積. Define f(m,n)=∣S1−S2∣ f(m,n)=|S_1-S_2| 翻訳：. (a) Calculate f(m,n) f(m,n) 翻訳： when m,n m,n はboth even またはboth odd. (b) 証明せよ f(m,n)≤max⁡(m,n)/2 f(m,n)\le\max(m,n)/2. (c) 証明せよ no 定数 C C 翻訳： satisfies f(m,n)<C f(m,n)<C すべての m,n m,n .
ステップ 3/3: 構成 unbounded excess
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

構成 unbounded excess

f(n+1,n)=n−16f(n+1,n)=\dfrac{n-1}{6}
詳しい解説

翻訳：Take even n n およびcompは三角形s を伴うlegs (n,n)(n,n) および(n+1,n)(n+1,n). The first has zero excess. Along added strip, 和ming similar white 三角形s gives white 面積 (2n+1)/12(2n+1)/12; black 面積 はn/2−(2n+1)/12 n/2-(2n+1)/12, so new excess は(n−1)/6(n-1)/6, which tends へinfinity.