第6問

Fまたは各正の整数

N

翻訳：, let

f(N)

be 数のways へrepresent

N

as a 和のpowers の

2

を伴うnon-negative 整数 exponents; order の和mands はignored. Fまたはexample,

f(4)=4

. 証明せよ任意の整数

n\ge3

2^{n^2/4}<f(2^n)<2^{n^2/2}

ステップ 5/5: 証明せよ lower bound

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

証明せよ lower bound

f(2^{n+1})>2^n f(2^{n-1})

詳しい解説

Iterating recurrence に対して $f(2^{n+1})$ およびapplying pairing lemma へresulting block gives $f(2^{n+1})>2^n f(2^{n-1})$ . Starting から $f(2)=2$ および $f(4)=4$ , inducti上のyields $f(2^n)>2^{n^2/4}$ 任意の $n\ge3$ .