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国際数学オリンピック · 1998年

問題

  1. 第1問In convex quadrilateral ABCD ABCD , diagonals AC AC およびBD BD はperpendicular およびopposite sides AB AB およびDC DC はないparallel. とする thで点 P P , ここで perpendicular bisectors のAB AB およびDC DC meet, はinside ABCD ABCD . 証明せよ ABCD ABCD はa cyclic quadrilateral if およびのみif 三角形s ABP ABP およびCDP CDP have equal 面積s.解答: 1
  2. 第2問In a competition, there はa a contestants およびb b judges, ここで b≥3 b\ge3 はan odd 整数. Each judge rates 各contestant as either “pass” または“fail”. とする k k はa 数 を満たす, に対してany two judges, their ratings coincide に対してでmost k k contestants. 証明せよ ka≥b−12b\frac{k}{a}\ge\frac{b-1}{2b}.解答: 1
  3. 第3問Fまたはany 正の整数 n n 翻訳：, let d(n) d(n) denote 数 のpositive 約数s のn n 翻訳： (including 11 およびn n itself). すべて決定せよ 正の整数 k k を満たす d(n2)d(n)=k\frac{d(n^2)}{d(n)}=k に対してsome n n .解答: 1
  4. 第4問すべて決定せよ pairs (a,b)(a,b) の正の整数 を満たす ab2+b+7 ab^{2}+b+7 翻訳： divides a2b+a+b a^{2}b+a+b .解答: 1
  5. 第5問とする。I I be in中心 の三角形 ABC ABC . とする。in円 のABC ABC touch sides BC BC , CA CA , およびAB AB でK K , L L , およびM M , respectively. The 直線 through B B parallel へMK MK meets 直線s LM LM およびLK LK でR R およびS S , respectively. 証明せよ 角 RIS RIS はacute.解答: 1
  6. 第6問決定せよ least possible value のf(1998) f(1998), ここで f:N→N f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} はa 関数 を満たす すべての m,n∈N m,n\in\mathbb{N}, f(n2f(m))=m(f(n))2. f\left(n^{2}f(m)\right)=m\left(f(n)\right)^{2}.解答: 1