MathLabs

第1問

In convex quadrilateral ABCD ABCD , diagonals AC AC およびBD BD はperpendicular およびopposite sides AB AB およびDC DC はないparallel. とする thで点 P P , ここで perpendicular bisectors のAB AB およびDC DC meet, はinside ABCD ABCD . 証明せよ ABCD ABCD はa cyclic quadrilateral if およびのみif 三角形s ABP ABP およびCDP CDP have equal 面積s.
ステップ 2/5: Reduce 面積 condition
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

Replace original 面積s により積s 上のperpendicular diagonals.

[ABP]=[CDP]  ⟺  AH⋅BK=CH⋅DK[ABP]=[CDP]\iff AH\cdot BK=CH\cdot DK
詳しい解説

Decompose two 面積s でX X およびを用いるAC⊥BD AC\perp BD . In either possible order のA,X,C A,X,C およびB,X,D B,X,D , signed-面積 terms involving PH PH およびPK PK cancel. The equality はtherefore equivalent へAH⋅BK=CH⋅DK AH\cdot BK=CH\cdot DK , ここで すべてfour quantities はpositive 距離s along two diagonals.