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第2問

In a competition, there はa a contestants およびb b judges, ここで b≥3 b\ge3 はan odd 整数. Each judge rates 各contestant as either “pass” または“fail”. とする k k はa 数 を満たす, に対してany two judges, their ratings coincide に対してでmost k k contestants. 証明せよ ka≥b−12b\frac{k}{a}\ge\frac{b-1}{2b}.
ステップ 2/4: 数える agreements に対してone contestant
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

The two rating groups はas balanced as possible でminimum.

(ci2)+(b−ci2)≥(b−12)2\binom{c_i}{2}+\binom{b-c_i}{2}\ge\left(\frac{b-1}{2}\right)^2
詳しい解説

Fまたはcontestant i i 翻訳：, let ci c_i judges say “pass”. The 数 のagreeing judge pairs は(ci2)+(b−ci2)\binom{c_i}{2}+\binom{b-c_i}{2} 翻訳：. Since b b はodd, minimum over 整数 ci c_i occurs でci=(b±1)/2 c_i=(b\pm1)/2 およびequals ((b−1)/2)2((b-1)/2)^2.