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第3問

Fまたはany 正の整数 n n 翻訳：, let d(n) d(n) denote 数 のpositive 約数s のn n 翻訳： (including 11 およびn n itself). すべて決定せよ 正の整数 k k を満たす d(n2)d(n)=k\frac{d(n^2)}{d(n)}=k に対してsome n n .
ステップ 1/6: Express 約数 ratio
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

Prime exponents control both 約数 counts.

n=∏i=1rpiai⇒d(n2)d(n)=∏i=1r2ai+1ai+1n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}\quad\Rightarrow\quad \frac{d(n^2)}{d(n)}=\prod_{i=1}^r\frac{2a_i+1}{a_i+1}
詳しい解説

Fまたは素数 factorizati上のn=∏piai n=\prod p_i^{a_i}, 約数 formula gives d(n)=∏(ai+1) d(n)=\prod(a_i+1) およびd(n2)=∏(2ai+1) d(n^2)=\prod(2a_i+1). したがって ratio はdisplayed 積. Each factまたははrational, but whole 積 は整数 k k におけるproblem.