MathLabs

第6問

決定せよ least possible value のf(1998) f(1998), ここで f:N→N f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} はa 関数 を満たす すべての m,n∈N m,n\in\mathbb{N}, f(n2f(m))=m(f(n))2. f\left(n^{2}f(m)\right)=m\left(f(n)\right)^{2}.
ステップ 2/6: 証明せよ k k divides すべてのvalue
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

比較 素数 valuations におけるiterated identity.

krf(tr+1)=f(t)r+1k^r f(t^{r+1})=f(t)^{r+1}
詳しい解説

An inducti上のを用いてf(kt)=kf(t) f(kt)=kf(t) およびf(kt2)=f(t)2 f(kt^2)=f(t)^2 翻訳： gives krf(tr+1)=f(t)r+1 k^r f(t^{r+1})=f(t)^{r+1} 任意の r≥1 r\ge1. もし a 素数 has valuati上のa a におけるk k およびvaluati上のb<a b<a におけるf(t) f(t) 翻訳：, choosing r r を伴うra>(r+1)b ra>(r+1)b contradicts thはidentity. ゆえに k∣f(t) k\mid f(t) 任意の t t .