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国際数学オリンピック · 1999年

問題

  1. 第1問すべて決定せよ finite sets S S のでleast three 点s におけるplane which satisfy following condition: Fまたはany two distinct 点s A A およびB B におけるS S , perpendicular bisectまたはの直線 segment AB AB はan axはのsymmetry のS S .解答: 1
  2. 第2問とする。n≥2 n\ge2 be a fixed 整数. (a) Find least 定数 C C を満たす すべての nonnegative 実数 x1,…,xn x_1,\dots,x_n , ∑1≤i<j≤nxixj(xi2+xj2)≤C(∑i=1nxi)4\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4. (b) 決定せよ when equality occurs に対してthはvalue のC C .解答: 1
  3. 第3問翻訳：Consider an n×n n\times n 平方 盤, ここで n n はa fixed even 正の整数. The 盤 はdivided inへn2 n^2 unit 平方s. We say thでtwo different 平方s 上の盤 はadjacent if they have a comm上のside. N N unit 平方s 上の盤 はmarked におけるsuch a way thですべての平方 (marked またはunmarked) 上の盤 はadjacent へでleast one marked 平方. 決定せよ smallest possible value のN N .解答: 1
  4. 第4問すべて決定せよ pairs (n,p)(n,p) の正の整数 を満たす p p はa 素数, n n ないexceeded 2p2p , および(p−1)n+1(p-1)^n+1 はdivisible によりnp−1 n^{p-1}.解答: 1
  5. 第5問Two 円s G1 G_1 およびG2 G_2 はcontained inside 円 G G , およびはtangent へG G でdistinct 点s M M およびN N 翻訳：, respectively. G1 G_1 passes through 中心 のG2 G_2. The 直線 passing through two 点s のintersecti上ののG1 G_1 およびG2 G_2 翻訳： meets G G でA A およびB B . The 直線s MA MA およびMB MB 翻訳： meet G1 G_1 でC C およびD D , respectively. 証明せよ CD CD はtangent へG2 G_2.解答: 1
  6. 第6問すべて決定せよ 関数s f:R→R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} を満たす f(x−f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)−1 f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 すべての 実数 x,y x,y .解答: 1