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第2問

とする。n≥2 n\ge2 be a fixed 整数. (a) Find least 定数 C C を満たす すべての nonnegative 実数 x1,…,xn x_1,\dots,x_n , ∑1≤i<j≤nxixj(xi2+xj2)≤C(∑i=1nxi)4\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4. (b) 決定せよ when equality occurs に対してthはvalue のC C .
ステップ 5/5: 翻訳：Characterize equality
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ざっくり言うと

Both inequalities 必要があるbe sharp simultaneously.

xi=xj>0,xℓ=0 (ℓ≠i,j)x_i=x_j>0,\quad x_\ell=0\ (\ell\ne i,j)
詳しい解説

Fまたはa nonzero tuple, equality におけるxi2+xj2≤Q x_i^2+x_j^2\le Q requires thですべてvariables except two members のcontributing pair vanish. Equality におけるAM–GM requires Q=2R Q=2R , which に対してtwo remaining variables はxi=xj x_i=x_j . 逆に, thでconfigurati上のgives equality. (The all-zero tuple はtrivial equality case.)