第3問

翻訳：Consider an

n\times n

平方盤, ここで

n

はa fixed even 正の整数. The 盤はdivided inへ

n^2

unit 平方s. We say thでtwo different 平方s 上の盤はadjacent if they have a comm上のside.

N

unit 平方s 上の盤はmarked におけるsuch a way thですべての平方 (marked またはunmarked) 上の盤はadjacent へでleast one marked 平方. 決定せよ smallest possible value の

N

ステップ 3/5: 数える construction

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

数える arithmetic progressi上ののmarks.

1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}2

詳しい解説

The 数s のmarks 上のselected diagonals は $1,2,\ldots,m$ におけるrequired 数列 (two halves の盤 contribute $1,3,5,\ldots$ およびthen $m,m-2,\ldots$ ). よって $m(m+1)/2$ marked white 平方s dominate すべてblack 平方s. Repeating を伴うcolors exchanged gives a configurati上のを伴う $m(m+1)$ marks dominating whole 盤.