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第3問

翻訳：Consider an n×n n\times n 平方 盤, ここで n n はa fixed even 正の整数. The 盤 はdivided inへn2 n^2 unit 平方s. We say thでtwo different 平方s 上の盤 はadjacent if they have a comm上のside. N N unit 平方s 上の盤 はmarked におけるsuch a way thですべての平方 (marked またはunmarked) 上の盤 はadjacent へでleast one marked 平方. 決定せよ smallest possible value のN N .
ステップ 4/5: 証明せよ lower bound に対してwhite marks
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

Odd diagonal 長さs force a ceiling after dividing によりtwo.

at least 1+2+⋯+m\text{at least }1+2+\cdots+m
詳しい解説

Fまたはnecessity, consider alternate odd-長さ black diagonals, whose 長さs は1,3,…,2m−11,3,\ldots,2m-1. A white 平方 はadjacent へ平方s におけるのみone のthese diagonals およびへでmost two 平方s におけるit. A diagonal の長さ 2r+12r+1 therefore requires でleast r+1 r+1 marked white 平方s. Summing gives でleast 1+2+⋯+m=m(m+1)/21+2+\cdots+m=m(m+1)/2 翻訳： white marks.