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国際数学オリンピック · 2000年

問題

  1. 第1問Two 円s Γ1\Gamma_1 およびΓ2\Gamma_2 intersect でtwo 点s M M およびN N . とする。AB AB be comm上のtangent へthese 円s でA A およびB B , respectively, so thでM M lies closer へAB AB 翻訳： than N N . とする。直線 through M M parallel へAB AB 翻訳： meet Γ1\Gamma_1 agaにおけるでC C およびΓ2\Gamma_2 agaにおけるでD D 翻訳：. Lines AC AC およびBD BD meet でE E ; 直線s AN AN およびCD CD meet でP P ; 直線s BN BN およびCD CD meet でQ Q . 証明せよ EP=EQ EP=EQ .解答: 1
  2. 第2問とする。a,b,c a,b,c be 正の実数 を伴うabc=1 abc=1. 証明せよ (a−1+1b)(b−1+1c)(c−1+1a)≤1(a-1+\frac1b)(b-1+\frac1c)(c-1+\frac1a)\le 1.解答: 1
  3. 第3問とする。n≥2 n\ge2 be a 正の整数. Initially there はn n fleas 上のa horizontal 直線, ないすべてでsame 点. Fまたはa positive real 数 λ\lambda , a 移動 chooses fleas でA A およびB B を伴うA A へleft のB B , およびlets flea でA A jump へC C へright のB B so thでBC=λAB BC=\lambda AB . すべて決定せよ λ\lambda を満たす, 任意の 点 M M およびすべてのinitial position, a finite 数列 の移動s puts すべてfleas へright のM M .解答: 1
  4. 第4問A magician has one hundred cards 数ed 11 へ100100. He puts them inへthree boxes, red, white およびblue, 各nonempty. A member selects two boxes, chooses one card からeach, およびannounces their 和. Given thは和, magician identifies box からwhich no card was chosen. How many assignments のcards へthree boxes make thはalways possible?解答: 1
  5. 第5問Does there exist a 正の整数 n n を満たす n n 翻訳： has exactly 20002000 distinct 素数 約数s およびn n 翻訳： divides 2n+12^n+1?解答: 1
  6. 第6問とする。AH1,BH2,CH3 AH_1,BH_2,CH_3 be altitudes のan acute 三角形 ABC ABC . The in円 のABC ABC 翻訳： touches BC,CA,AB BC,CA,AB でT1,T2,T3 T_1,T_2,T_3, respectively. Reflect 直線s H1H2,H2H3,H3H1 H_1H_2,H_2H_3,H_3H_1 における直線s T1T2,T2T3,T3T1 T_1T_2,T_2T_3,T_3T_1, respectively. 証明せよ three reflected 直線s form a 三角形 whose 頂点 lie 上のin円.解答: 1