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第3問

とする。n≥2 n\ge2 be a 正の整数. Initially there はn n fleas 上のa horizontal 直線, ないすべてでsame 点. Fまたはa positive real 数 λ\lambda , a 移動 chooses fleas でA A およびB B を伴うA A へleft のB B , およびlets flea でA A jump へC C へright のB B so thでBC=λAB BC=\lambda AB . すべて決定せよ λ\lambda を満たす, 任意の 点 M M およびすべてのinitial position, a finite 数列 の移動s puts すべてfleas へright のM M .
ステップ 1/4: 閾値未満の必要性
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

有界単調量を使う。

0<λ<1n−10<\lambda<\frac1{n-1}
詳しい解説

0<λ<1/(n−1)0<\lambda<1/(n-1) とし、位置を x1≤⋯≤xnx_1\le\cdots\le x_n と並べる。最右のノミまでの距離の総和を XX とする。最右点が動かない手では XX が減り、最右点が zz 進む手では XX は少なくとも (1/λ−(n−1))z>0(1/\lambda-(n-1))z>0 減る。したがって進行量は有界である。