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第3問

とする。n≥2 n\ge2 be a 正の整数. Initially there はn n fleas 上のa horizontal 直線, ないすべてでsame 点. Fまたはa positive real 数 λ\lambda , a 移動 chooses fleas でA A およびB B を伴うA A へleft のB B , およびlets flea でA A jump へC C へright のB B so thでBC=λAB BC=\lambda AB . すべて決定せよ λ\lambda を満たす, 任意の 点 M M およびすべてのinitial position, a finite 数列 の移動s puts すべてfleas へright のM M .
ステップ 2/4: 閾値以上の十分性
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最小間隔を保つ。

λ≥1n−1\lambda\ge\frac1{n-1}
詳しい解説

λ≥1/(n−1)\lambda\ge1/(n-1) とする。最小間隔を dd、D=xn−x1D=x_n-x_1 とおく。DD は n−1n-1 個の間隔の和なので D≥(n−1)dD\ge(n-1)d、従って λD≥d\lambda D\ge d。最左のノミを最右のノミの右へ飛ばすと、最小間隔は dd 以上に保たれる。