国際数学オリンピック · 2001年

問題

第1問とする。 $ABC$ be an acute-角d 三角形を伴うcircumcentre $O$ . とする。 $P$ 上の $BC$ be foot のaltitude から $A$ . とする thで $\angle BCA\ge\angle ABC+30^\circ$ . 証明せよ $\angle CAB+\angle COP<90^\circ$ .解答: 1
第2問Fまたはすべて正の実数 $a,b,c$ 翻訳：, prove $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1$ .解答: 1
第3問Twenty-one girls およびtwenty-one boys took part におけるa mathematical contest. Each contestant solved でmost six problems. Fまたは各girl および各boy, でleast one problem was solved によりboth のthem. 証明せよ there was a problem solved によりでleast three girls およびでleast three boys.解答: 1
第4問とする。 $n>1$ be an odd 整数およびlet $k_1,k_2,\dots,k_n$ be 整数s. Fまたは各置換 $\mathbf a=(a_1,\dots,a_n)$ の $1,\dots,n$ 翻訳：, define $S(\mathbf a)=\sum_{i=1}^n k_i a_i$ . 証明せよ there はdistinct 置換s $\mathbf b,\mathbf c$ を満たす $n!$ 翻訳： divides $S(\mathbf b)S(\mathbf c)$ .解答: 1
第5問In 三角形 $ABC$ , $AP$ 翻訳： bisects $\angle BAC$ を伴う $P$ 上の $BC$ , および $BQ$ 翻訳： bisects $\angle ABC$ を伴う $Q$ 上の $CA$ 翻訳：. Given $\angle BAC=60^\circ$ および $AB+BP=AQ+QB$ , determine possible 角s の $ABC$ .解答: 1
第6問とする。 $a>b>c>d>0$ be 整数s satisfying $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$ . 証明せよ $ab+cd$ はない素数.解答: 1