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第1問

正の整数 n に対し、x と y が非負整数で x+y<n を満たす点 (x,y) 全体を T とする。T の各点を赤または青に塗り、(x,y) が赤なら、第一座標が x 以下、第二座標が y 以下のすべての点も赤とする。x 座標が互いに異なる n 個の青点の選び方を A、y 座標が互いに異なる n 個の青点の選び方を B とする。A=B を証明せよ。 nn TT (x,y)(x,y) xx yy x+y<nx+y<n TT (x,y)(x,y) TT xx yy AA nn xx BB nn yy A=BA=B
ステップ 1/3: 座標ごとに青点を数える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

各列と各行の青点数を数える。

ax=#{(x,y)∈T: (x,y) is blue}andby=#{(x,y)∈T: (x,y) is blue}a_x=\#\{(x,y)\in T:\ (x,y)\text{ is blue}\} \quad\text{and}\quad b_y=\#\{(x,y)\in T:\ (x,y)\text{ is blue}\}
詳しい解説

各座標について、列の青点数を 、行の青点数を と定める。 axa_x byb_y