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第2問

OO を中心とする円 ω\omega の直径を BCBC とする。0∘<∠AOB<120∘0^\circ<\angle AOB<120^\circ を満たす点 AA を ω\omega 上に取る。CC を含まない弧 ABAB の中点を DD とする。ℓ\ell は OO を通り ADAD に平行であり、ℓ\ell と ACAC の交点を JJ とする。OAOA の垂直二等分線と ω\omega の交点を EE,FF とする。JJ が三角形 CEFCEF の内心であることを証明せよ。
ステップ 1/3: ひし形を確認する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この弦は OAOA の垂直二等分線なので、二つの正三角形が現れる。

AE=AF=AO=EO=OF=sAE=AF=AO=EO=OF=s
詳しい解説

MM を EFEF の中点とする。EFEF は OAOA の垂直二等分線なので、MM は OAOA の中点でもある。X=EX=E または X=FX=F とすると、XX は垂直二等分線上にあるから XO=XAXO=XA であり、XX は ω\omega 上にあるから XO=AOXO=AO である。したがって AEOAEO と AFOAFO は正三角形である。ゆえに AEOFAEOF はひし形であり、s=AOs=AO とおけば、表示された五つの線分の長さはすべて AE=AF=AO=EO=OF=sAE=AF=AO=EO=OF=s である。