MathLabs

第2問

OO を中心とする円 ω\omega の直径を BCBC とする。0∘<∠AOB<120∘0^\circ<\angle AOB<120^\circ を満たす点 AA を ω\omega 上に取る。CC を含まない弧 ABAB の中点を DD とする。ℓ\ell は OO を通り ADAD に平行であり、ℓ\ell と ACAC の交点を JJ とする。OAOA の垂直二等分線と ω\omega の交点を EE,FF とする。JJ が三角形 CEFCEF の内心であることを証明せよ。
ステップ 2/3: JJ の位置を定める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

平行線によって、この配置は平行四辺形になる。

AJ=AO=sAJ=AO=s
詳しい解説

α=∠BOD=∠DOA\alpha=\angle BOD=\angle DOA とおくと、∠BOA=2α\angle BOA=2\alpha である。BCBC は直径なので、三角形 AOCAOC は二等辺であり、∠OAC=∠ACO=α\angle OAC=\angle ACO=\alpha である。JJ は ACAC 上にあるから、∠OAJ=∠OAC=α=∠AOD\angle OAJ=\angle OAC=\alpha=\angle AOD。さらに OJ∥ADOJ\parallel AD なので、四角形 DAJODAJO は平行四辺形である。実際、OJ∥ADOJ\parallel AD かつ AJ∥DOAJ\parallel DO である。したがって AOAO の中点 MM は DJDJ の中点でもあり、JJ は MM に関する DD の点対称である。長さを求めるため、三角形 AODAOD は頂角 α\alpha の二等辺三角形なので ∠OAD=90∘−α/2\angle OAD=90^\circ-\alpha/2。OJ∥ADOJ\parallel AD より ∠AOJ=90∘−α/2\angle AOJ=90^\circ-\alpha/2 であり、三角形 AOJAOJ の残りの角 ∠AJO\angle AJO も 90∘−α/290^\circ-\alpha/2 となる。よって ∠AJO=∠AOJ\angle AJO=\angle AOJ であり、AJ=AO=sAJ=AO=s である。