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第2問

OO を中心とする円 ω\omega の直径を BCBC とする。0∘<∠AOB<120∘0^\circ<\angle AOB<120^\circ を満たす点 AA を ω\omega 上に取る。CC を含まない弧 ABAB の中点を DD とする。ℓ\ell は OO を通り ADAD に平行であり、ℓ\ell と ACAC の交点を JJ とする。OAOA の垂直二等分線と ω\omega の交点を EE,FF とする。JJ が三角形 CEFCEF の内心であることを証明せよ。
ステップ 3/3: JJ が内心であることを示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

中点に関する対称性から一つの二等分線が得られ、正三角形からもう一つが得られる。

∠DEF=12∠EFC\angle DEF=\frac12\angle EFC
詳しい解説

MM は AOAO と DJDJ の両方の中点であり、EFEF の中点でもあるので、四角形 DFJEDFJE は平行四辺形である。したがって ∠DEF=∠EFJ\angle DEF=\angle EFJ。弦 AE=AFAE=AF は、AA が CC を含まない弧 EFEF の中点であることを示すので、ACAC は ∠ECF\angle ECF の内角二等分線である。よって三角形 CEFCEF の内心は、JJ と同じく ACAC 上にある。残りは FJFJ が FF における内角二等分線であることを示すことである。D,E,FD,E,F は ω\omega 上にあり、円周角の定理と正三角形 AFOAFO より、∠DEF=12∠DOF=12(∠DOA+60∘)\angle DEF=\frac12\angle DOF=\frac12(\angle DOA+60^\circ)。前段より ∠DOA=∠OAC\angle DOA=\angle OAC であり、また ∠EAO=60∘\angle EAO=60^\circ だから、∠DEF=12(∠OAC+∠EAO)=12∠EAC\angle DEF=\frac12(\angle OAC+\angle EAO)=\frac12\angle EAC。E,A,F,CE,A,F,C は同一円周上にあるので ∠EAC=∠EFC\angle EAC=\angle EFC。したがって ∠EFJ=12∠EFC\angle EFJ=\frac12\angle EFC であり、FJFJ は FF の角を二等分する。二つの内角二等分線の交点は JJ だから、JJ は内心である。