MathLabs

第3問

m,n≥3m,n\ge3 を満たす正整数の組で、am+a−1an+a2−1\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} が整数となる正整数 aa が無限に存在するものをすべて求めよ。
ステップ 2/3: 指数を制限する
ざっくり言うと

分母多項式の実根が m>2n を排除する。

n<m≤2nn<m\le2n
詳しい解説

m>nm>n は明らかである。m>2nm>2n と仮定し、rn+r2=1r^n+r^2=1 を満たす 0<r<10<r<1 を取る。整除性から rm+r−1=0r^m+r-1=0 だが、r>3/4r>3/4 かつ rm<r2n=(1−r2)2<1−rr^m<r^{2n}=(1-r^2)^2<1-r なので矛盾する。従って undefined。