MathLabs

第3問

m,n≥3m,n\ge3 を満たす正整数の組で、am+a−1an+a2−1\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} が整数となる正整数 aa が無限に存在するものをすべて求めよ。
ステップ 3/3: 残りの場合を約化する
ざっくり言うと

。

m=5, n=3m=5,\ n=3
詳しい解説

と置く。 を法とすると余りは である。、、 を調べると だけが残る。実際、 なので は成立する。 (5,3)(5,3) k=m−nk=m-n k=nk=n k=n−1k=n-1 k≤n−2k\le n-2 n=3,k=2n=3,k=2 x5+x−1=(x2−x+1)(x3+x2−1)x^5+x-1=(x^2-x+1)(x^3+x^2-1) xk−xk+2+x−1x^k-x^{k+2}+x-1