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第4問

n≥2n\ge2 を正整数とし、その約数を 1=d1<d2<⋯<dk=n1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n とする。d1d2+d2d3+⋯+dk−1dkd_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k が常に n2n^2 より小さいことを示し、それが n2n^2 の約数となる場合を求めよ。
ステップ 1/3: 補約数を組み合わせる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

積を逆順に並べ、 =n を使う。

S=∑i=1k−1didi+1=n2∑i=1k−11didi+1S=\sum_{i=1}^{k-1}d_id_{i+1}=n^2\sum_{i=1}^{k-1}\frac1{d_id_{i+1}}
詳しい解説

didk−i+1=nd_i d_{k-i+1}=n なので、積を逆順に並べれば補約数を対応させられる。