MathLabs

第4問

n≥2n\ge2 を正整数とし、その約数を 1=d1<d2<⋯<dk=n1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n とする。d1d2+d2d3+⋯+dk−1dkd_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k が常に n2n^2 より小さいことを示し、それが n2n^2 の約数となる場合を求めよ。
ステップ 2/3: 厳しい上界を示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

i により、逆数和を裂項和で評価する。

∑i=1k−11didi+1≤∑i=1k−11i(i+1)<1\sum_{i=1}^{k-1}\frac1{d_id_{i+1}}\le\sum_{i=1}^{k-1}\frac1{i(i+1)}<1
詳しい解説

および より、 であり、 となる。 S<n2S<n^2 ∑(1/i−1/(i+1))=1−1/k<1\sum(1/i-1/(i+1))=1-1/k<1 di≥id_i\ge i