第4問

n\ge2

を正整数とし、その約数を

1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n

とする。

d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k

が常に

n^2

より小さいことを示し、それが

n^2

の約数となる場合を求めよ。

ステップ 3/3: 整除条件を分類する

ざっくり言うと

の真の約数の最大値を使って合成数を除外する。

\frac{n^2}{p}<S<n^2

詳しい解説

$n$ が素数なら $S=n$ 。合成数で最小素因子を $p$ とすると $d_{k-1}=n/p$ であり、 $S>n^2/p$ 。これは $n^2/p$ が $n^2$ の最大真約数なので、 $S$ は $n^2$ を割れない。