第6問

n\ge3

を正整数とし、中心がそれぞれ

O_1,O_2,\ldots,O_n

である単位円

C_1,C_2,\ldots,C_n

を平面上に取る。3つ以上の円と交わる直線が存在しないならば、

\sum_{1\le i<j\le n}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4}

を証明せよ。

ステップ 1/3: 接線の弧を測る

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

一つの単位円への接線がもう一つの円を横切るのは、短い二つの弧に対応する場合だけである。

\sin\frac{\theta_{ij}}2=\frac1{O_iO_j}

詳しい解説

まず任意の二円は交わらない。もし二円が一点で交われば、その点と第三の円上の任意の点を通る直線は三円と交わってしまう。 $i\ne j$ を固定する。 $\theta_{ij}$ を、接線が $C_j$ と交わる $C_i$ 上の二つの弧それぞれの角度長とする。その弧の端点では、 $O_j$ から接線までの距離が $1$ である。接点は $O_iO_j$ に垂直な方向から弧長の半分だけずれているので、直角三角形の関係は $1=O_iO_j\sin(\theta_{ij}/2)$ 、すなわち $\sin(\theta_{ij}/2)=1/O_iO_j$ である。したがって $1/O_iO_j=\sin(\theta_{ij}/2)\le\theta_{ij}/2$ 。