MathLabs

第6問

n≥3n\ge3 を正整数とし、中心がそれぞれ O1,O2,…,OnO_1,O_2,\ldots,O_n である単位円 C1,C2,…,CnC_1,C_2,\ldots,C_n を平面上に取る。3つ以上の円と交わる直線が存在しないならば、∑1≤i<j≤n1OiOj≤(n−1)π4\sum_{1\le i<j\le n}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4} を証明せよ。
ステップ 3/3: 総和して仕上げる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

利用できる角度長の総和は高々 2(n−1)π2(n-1)\pi である。

8∑i<j1OiOj≤2(n−1)π8\sum_{i<j}\frac1{O_iO_j}\le2(n-1)\pi
詳しい解説

各組について第一段階から 8/OiOj=8sin⁡(θij/2)≤4θij8/O_iO_j=8\sin(\theta_{ij}/2)\le4\theta_{ij} を得る。すべての組について足し、αi\alpha_i の定義を用いると、8∑i<j1OiOj≤4∑i<jθij=∑iαi≤2(n−1)π8\sum_{i<j}\frac1{O_iO_j}\le4\sum_{i<j}\theta_{ij}=\sum_i\alpha_i\le2(n-1)\pi となる。88 で割れば ∑i<j1OiOj≤(n−1)π4\sum_{i<j}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4} が得られ、証明が終わる。