MathLabs

第5問

正の整数 nn と実数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n に対して、(∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣)2≤2(n2−1)3∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}3\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2 を証明せよ。等号は x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n が等差数列をなすとき、かつそのときに限る。
ステップ 1/3: 並べ替えて差を取る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

数を並べれば各差は連続する差の和になる。

di=xi+1−xi≥0d_i=x_{i+1}-x_i\ge0
詳しい解説

二重和は各 xix_i の入れ替えに対して対称なので、添字を付け替えて x1≤⋯≤xnx_1\le\cdots\le x_n とし、di=xi+1−xi≥0d_i=x_{i+1}-x_i\ge0 と置く。i<ji<j なら ∣xj−xi∣=∑r=ij−1dr|x_j-x_i|=\sum_{r=i}^{j-1}d_r および xj−xi=∑r=ij−1drx_j-x_i=\sum_{r=i}^{j-1}d_r である。