第2問

$b>1$ の解では、分母の正性から $2ab^2-b^3+1=b^2(2a-b)+1>0$ なので $2a\ge b$ である。$2a>b$ なら $a^2>b^2$、したがって $a>b$ となる。前段の二根を $a_1,a_2$ とする。どちらも $2a=b$ を満たさないと仮定して並べれば $a_1>a_2>b$ であり、ビエタの公式から $a_1+a_2=2kb^2$、$a_1a_2=k(b^3-1)$ である。しかし $a_1>(a_1+a_2)/2=kb^2$ だから $a_1a_2>kb^3$ となり、$a_1a_2=k(b^3-1)$ に矛盾する。よって一方の根は $2a=b$ を満たす。$b=2t$ と書けば $k=t^2$ で境界根は $(a,b)=(t,2t)$、その共役根は $a'=8t^4-t$ である。$b=1$ の族と合わせ、直接代入で確認すれば、すべての解は正整数 $t$ に対する $(2t,1)$、$(t,2t)$、$(8t^4-t,2t)$ である。