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第3問

凸六角形の各対向辺について、その中点間の距離 pp は二辺の長さの和の 32\frac{\sqrt3}{2} 倍である。この六角形が等角であることを証明せよ。
ステップ 5/7: 対角線の長さが等しいことを得る
ざっくり言うと

等号の式と和がゼロという関係から、三つのベクトルは同じ長さの配置になる。

∣u∣=∣v∣=∣w∣,∠(u,w)=120∘|\mathbf u|=|\mathbf v|=|\mathbf w|,\qquad \angle(\mathbf u,\mathbf w)=120^\circ
詳しい解説

u−v+w=0\mathbf u-\mathbf v+\mathbf w=\mathbf0 より v=u+w\mathbf v=\mathbf u+\mathbf w である。Step 3 の第三の等式は ∣u∣2+∣w∣2=−4u⋅w|\mathbf u|^2+|\mathbf w|^2=-4\mathbf u\cdot\mathbf w だから、∣v∣2=(∣u∣2+∣w∣2)/2|\mathbf v|^2=(|\mathbf u|^2+|\mathbf w|^2)/2 となる。これを第一の等式へ代入して整理すると 3(∣w∣2−∣u∣2)=03(|\mathbf w|^2-|\mathbf u|^2)=0。従って ∣u∣=∣w∣|\mathbf u|=|\mathbf w|、さらに ∣v∣=∣u∣|\mathbf v|=|\mathbf u| である。また u⋅w=−∣u∣2/2\mathbf u\cdot\mathbf w=-|\mathbf u|^2/2 より ∠(u,w)=120∘\angle(\mathbf u,\mathbf w)=120^\circ。