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第3問

凸六角形の各対向辺について、その中点間の距離 pp は二辺の長さの和の 32\frac{\sqrt3}{2} 倍である。この六角形が等角であることを証明せよ。
ステップ 6/7: 等号条件で対辺の向きを定める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

三角不等式の等号条件により、周回方向では各対辺が反対向きに平行になる。

a+c=sb,DE→=−ra,EF→=−sb,FA→=−tc,r=t=1s\mathbf a+\mathbf c=s\mathbf b,\qquad \overrightarrow{DE}=-r\mathbf a,\quad\overrightarrow{EF}=-s\mathbf b,\quad\overrightarrow{FA}=-t\mathbf c,\qquad r=t=\frac1s
詳しい解説

a=AB→\mathbf a=\overrightarrow{AB}、b=BC→\mathbf b=\overrightarrow{BC}、c=CD→\mathbf c=\overrightarrow{CD} と置く。Step 2 の等号条件から、正の r,s,tr,s,t を用いて DE→=−ra\overrightarrow{DE}=-r\mathbf a、EF→=−sb\overrightarrow{EF}=-s\mathbf b、FA→=−tc\overrightarrow{FA}=-t\mathbf c と書ける。Step 1 の和がゼロという関係は a+c=sb\mathbf a+\mathbf c=s\mathbf b と同値である。辺ベクトルの閉じた和とこの関係、および a,c\mathbf a,\mathbf c が平行でないことから r=t=1/sr=t=1/s を得る。