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第3問

凸六角形の各対向辺について、その中点間の距離 pp は二辺の長さの和の 32\frac{\sqrt3}{2} 倍である。この六角形が等角であることを証明せよ。
ステップ 7/7: 曲がり角と内角が等しいことを結論する
ざっくり言うと

長い対角線の長さが等しいため、中央の辺の向きが両側の辺の向きを二等分する。

u=−(s+1)b,w=(1+1s)a,∠(a,b)=∠(b,c)=60∘\mathbf u=-(s+1)\mathbf b,\qquad \mathbf w=\left(1+\frac1s\right)\mathbf a,\qquad \angle(\mathbf a,\mathbf b)=\angle(\mathbf b,\mathbf c)=60^\circ
詳しい解説

a+c=sb\mathbf a+\mathbf c=s\mathbf b と r=t=1/sr=t=1/s を用いて直接計算すると u=−(s+1)b\mathbf u=-(s+1)\mathbf b、w=(1+1/s)a\mathbf w=(1+1/s)\mathbf a となる。∣u∣=∣w∣|\mathbf u|=|\mathbf w| かつ ∠(u,w)=120∘\angle(\mathbf u,\mathbf w)=120^\circ なので、a\mathbf a と b\mathbf b の角は 60∘60^\circ である。また ∣a∣=s∣b∣=∣a+c∣|\mathbf a|=s|\mathbf b|=|\mathbf a+\mathbf c| であり、c=sb−a\mathbf c=s\mathbf b-\mathbf a から ∣c∣=∣a∣|\mathbf c|=|\mathbf a|。さらに a+c=sb\mathbf a+\mathbf c=s\mathbf b より b\mathbf b と c\mathbf c の角も 60∘60^\circ である。対辺は反対向きに平行だから、六つの連続する外角はすべて 60∘60^\circ、各内角は 120∘120^\circ となる。