中点は、その直線の無限遠点との調和関係で表せる。
シムソン線の方向の無限遠点を I∞I_\inftyI∞ とし、アフィン座標で cr(X,Y;Z,I∞)=(z−x)/(z−y)\operatorname{cr}(X,Y;Z,I_\infty)=(z-x)/(z-y)cr(X,Y;Z,I∞)=(z−x)/(z−y) と定める。q=(p+r)/2q=(p+r)/2q=(p+r)/2 なら cr(P,R;Q,I∞)=−1\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=-1cr(P,R;Q,I∞)=−1 であり、逆にこの式から 2q=p+r2q=p+r2q=p+r が従う。従って PQ=QR ⟺ cr(P,R;Q,I∞)=−1PQ=QR\iff\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=-1PQ=QR⟺cr(P,R;Q,I∞)=−1 である。