MathLabs

第4問

円に内接する四角形 ABCDABCD を考える。P,Q,RP,Q,R をそれぞれ DD から直線 BC,CA,ABBC,CA,AB へ下ろした垂線の足とする。PQ=QRPQ=QR と、角 ABCABC と ADCADC の二等分線が線分 ACAC 上で交わることが同値であることを示せ。
ステップ 3/7: 平行な弦を構成する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

DQ 上のもう一つの交点が、シムソン線に平行な弦を作る。

∠DQR=∠DAR=∠DAB=∠DEB,BE∥PQR\angle DQR=\angle DAR=\angle DAB=\angle DEB,\qquad BE\parallel PQR
詳しい解説

外接円と DQDQ の第二交点を E≠DE\ne D、外接円と BQBQ の第二交点を F≠BF\ne B とする。円に内接する AQDRAQDR より ∠DQR=∠DAR\angle DQR=\angle DAR。A,R,BA,R,B は一直線上なので ∠DAR=∠DAB\angle DAR=\angle DAB。また A,B,D,EA,B,D,E は同一円周上だから ∠DAB=∠DEB\angle DAB=\angle DEB である。D,E,QD,E,Q が一直線上なので、最後の等式から BEBE は QRQR に平行、従ってシムソン線 PQRPQR に平行である。