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第4問

円に内接する四角形 ABCDABCD を考える。P,Q,RP,Q,R をそれぞれ DD から直線 BC,CA,ABBC,CA,AB へ下ろした垂線の足とする。PQ=QRPQ=QR と、角 ABCABC と ADCADC の二等分線が線分 ACAC 上で交わることが同値であることを示せ。
ステップ 4/7: 複比を外接円へ射影する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

中心射影は複比を保ち、中点条件を B を中心とする調和な直線束へ移す。

cr⁡(P,R;Q,I∞)=cr⁡(BC,BA;BF,BE)\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=\operatorname{cr}(BC,BA;BF,BE)
詳しい解説

P,R,Q,I∞P,R,Q,I_\infty の四点を BB から BB を通る直線束へ射影する。像はそれぞれ BC,BA,BF,BEBC,BA,BF,BE である。実際 BP=BCBP=BC、BR=BABR=BA、BQ=BFBQ=BF であり、Step 3 により BI∞=BEBI_\infty=BE となる。中心射影はアフィン座標上の一次分数変換なので複比を保ち、cr⁡(P,R;Q,I∞)=cr⁡(BC,BA;BF,BE)\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=\operatorname{cr}(BC,BA;BF,BE) を得る。従って距離による中点条件には正確な射影幾何的表現がある。