MathLabs

第4問

円に内接する四角形 ABCDABCD を考える。P,Q,RP,Q,R をそれぞれ DD から直線 BC,CA,ABBC,CA,AB へ下ろした垂線の足とする。PQ=QRPQ=QR と、角 ABCABC と ADCADC の二等分線が線分 ACAC 上で交わることが同値であることを示せ。
ステップ 5/7: 射影条件を長さで評価する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

直角から得られる二つの円により、複比条件は対辺の比の等式になる。

PQ=CDsin⁡∠BCA,QR=ADsin⁡∠BAC,PQ=QR  ⟺  ADCD=ABBCPQ=CD\sin\angle BCA,\qquad QR=AD\sin\angle BAC,\qquad PQ=QR\iff\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}
詳しい解説

円に内接する四辺形 CQDPCQDP の直径は CDCD なので、弦の公式から PQ=CDsin⁡∠BCAPQ=CD\sin\angle BCA。同様に AQDRAQDR の直径は ADAD であり、QR=ADsin⁡∠BACQR=AD\sin\angle BAC となる。三角形 ABCABC の正弦定理より sin⁡∠BCA/sin⁡∠BAC=AB/BC\sin\angle BCA/\sin\angle BAC=AB/BC。従って PQ=QR  ⟺  CD AB/BC=AD  ⟺  AD/CD=AB/BCPQ=QR\iff CD\,AB/BC=AD\iff AD/CD=AB/BC である。これは Step 4 の調和な直線束を長さで評価したものだ。