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第4問

円に内接する四角形 ABCDABCD を考える。P,Q,RP,Q,R をそれぞれ DD から直線 BC,CA,ABBC,CA,AB へ下ろした垂線の足とする。PQ=QRPQ=QR と、角 ABCABC と ADCADC の二等分線が線分 ACAC 上で交わることが同値であることを示せ。
ステップ 6/7: 二つの角の二等分線定理を適用する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

各内角の二等分線は、辺の長さの比によって AC 上の一点を定める。

AXXC=ABBC,AYYC=ADDC,X=Y  ⟺  ADDC=ABBC\frac{AX}{XC}=\frac{AB}{BC},\qquad \frac{AY}{YC}=\frac{AD}{DC},\qquad X=Y\iff\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}
詳しい解説

BB の内角の二等分線と ACAC の交点を XX、DD の内角の二等分線と ACAC の交点を YY とする。角の二等分線定理より AXXC=ABBC\frac{AX}{XC}=\frac{AB}{BC}、AYYC=ADDC\frac{AY}{YC}=\frac{AD}{DC}。XX と YY はともに線分 ACAC 上にあり、正の比で一意に定まる。従って二等分線が ACAC 上の同一点で交わることは X=Y  ⟺  ADDC=ABBCX=Y\iff\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC} と同値である。