MathLabs

第4問

円に内接する四角形 ABCDABCD を考える。P,Q,RP,Q,R をそれぞれ DD から直線 BC,CA,ABBC,CA,AB へ下ろした垂線の足とする。PQ=QRPQ=QR と、角 ABCABC と ADCADC の二等分線が線分 ACAC 上で交わることが同値であることを示せ。
ステップ 7/7: 両方向を完結する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

射影的な中点判定と二等分線の比の判定は同じ条件である。

PQ=QR  ⟺  cr⁡(P,R;Q,I∞)=−1  ⟺  ADCD=ABBC  ⟺  X=YPQ=QR\iff\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=-1\iff\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}\iff X=Y
詳しい解説

Step 2 と Step 4 から PQ=QR  ⟺  cr⁡(P,R;Q,I∞)=−1PQ=QR\iff\operatorname{cr}(P,R;Q,I_\infty)=-1 が得られ、これは調和な直線束 cr⁡(BC,BA;BF,BE)=−1\operatorname{cr}(BC,BA;BF,BE)=-1 と同一視される。Step 5 は PQ=QR  ⟺  AD/CD=AB/BCPQ=QR\iff AD/CD=AB/BC と評価し、Step 6 は X=Y  ⟺  AD/CD=AB/BCX=Y\iff AD/CD=AB/BC を与える。従って PQ=QRPQ=QR は、二つの内角二等分線が線分 ACAC 上の同一点 X=YX=Y で交わることと同値である。