MathLabs

第5問

正の整数 nn と実数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n に対して、(∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣)2≤2(n2−1)3∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}3\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2 を証明せよ。等号は x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n が等差数列をなすとき、かつそのときに限る。
ステップ 2/3: 両辺を書き換える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの対称和を区間に関する L,Q で表す。

L=∑r=1n−1r(n−r)drL=\sum_{r=1}^{n-1}r(n-r)d_r
詳しい解説

L=∑r=1n−1r(n−r)drL=\sum_{r=1}^{n-1}r(n-r)d_r、Q=∑1≤i<j≤n(∑r=ij−1dr)2Q=\sum_{1\le i<j\le n}(\sum_{r=i}^{j-1}d_r)^2 と置く。各差 drd_r はちょうど r(n−r)r(n-r) 個の区間に現れるので、絶対値の二重和は 2L2L である。また (i,j)(i,j) と (j,i)(j,i) を組にすれば、平方差の二重和は 2Q2Q である。したがって元の不等式は L2≤(n2−1)Q/3L^2\le(n^2-1)Q/3 と同値である。