第6問

p を素数とする。任意の整数 n に対して n^p-p が割り切れない素数 q が存在することを証明せよ。

p

q

n

n^p-p

q

ステップ 3/3: すべての整数を排除する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

p が p 乗剰余なら、その位数に関する条件が p と矛盾する。

n^p\not\equiv p\pmod q

詳しい解説

ppmod q と仮定する。位数 pk の巡回群 (mathbb Z/qmathbb Z)^ imes では、p が p 乗であるための条件から q が従う。 $n^p\equiv p\pmod q$ $p$ $p^k\equiv1\pmod q$ $p$ $p$ $p\nmid k$ $q$ $n^p-p$