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第1問

ABCABC を満たす鋭角三角形を AB≠ACAB\ne AC とする。BCBC を直径とする円は辺 ABAB、ACAC とそれぞれ点 MM、NN で交わる。辺 OO の中点を BCBC とする。角 ∠BAC\angle BAC と角 ∠MON\angle MON の二等分線は点 RR で交わる。三角形 BMRBMR と CNRCNR の外接円が辺 BCBC 上に共通点を持つことを証明せよ。
ステップ 2/4: 二つの補助円
前のステップ次のステップ
∠AMH=∠ANH=90∘  ⟹  A,M,H,N concyclic (circle on diameter AH)\angle AMH=\angle ANH=90^\circ \implies A,M,H,N\text{ concyclic (circle on diameter }AH\text{)}
詳しい解説

直線 CM,BN はそれぞれ AB,AC に垂直である。したがって angle AMH=angle ANH=90^circ であり、A,M,H,N は直径 AH の円上にある。この補助円から R の位置が定まる。 CMCM BNBN ABAB ACAC angleAMH=angleANH=90circangle AMH=angle ANH=90^circ A,M,H,NA,M,H,N AHAH RR