国際数学オリンピック · 2004年

問題

第1問 $ABC$ を満たす鋭角三角形を $AB\ne AC$ とする。 $BC$ を直径とする円は辺 $AB$ 、 $AC$ とそれぞれ点 $M$ 、 $N$ で交わる。辺 $O$ の中点を $BC$ とする。角 $\angle BAC$ と角 $\angle MON$ の二等分線は点 $R$ で交わる。三角形 $BMR$ と $CNR$ の外接円が辺 $BC$ 上に共通点を持つことを証明せよ。解答: 1
第2問実数を係数とする多項式 $P$ で、 $a,b,c$ を満たすすべての実数 $ab+bc+ca=0$ に対して $P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c).$ を満たすものをすべて求めよ。解答: 1
第3問六つの単位正方形からなる図形で、三個からなる一列と四個からなる一列が一つの角の正方形を共有し、さらにその行の遠い端にもう一つの正方形が付け加わったもの（またはこれを回転・鏡映して得られる図形）を hook と定義する。そのような hook で隙間も重なりもなく敷き詰められ、hook のどの部分も長方形の外に出ない $m\times n$ 長方形をすべて求めよ。解答: 1
第4問 $n\ge 3$ を整数とし、 $t_1,t_2,\dots,t_n$ を $n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right).$ を満たす正の実数とする。 $t_i,t_j,t_k$ を満たすすべての $i,j,k$ に対して、 $1\le i<j<k\le n$ が三角形の三辺の長さとなることを示せ。解答: 1
第5問凸四角形 $ABCD$ において、対角線 $BD$ は角 $\angle ABC$ も角 $\angle CDA$ も二等分しない。点 $P$ は $ABCD$ の内部にあり、 $\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA.$ を満たす。 $ABCD$ が円に内接する四角形であることと $AP=CP$ であることが同値であることを証明せよ。解答: 1
第6問十進表記において隣り合うどの二つの数字も偶奇が異なる正の整数を alternating と呼ぶ。alternating な倍数を持つ正の整数 $n$ をすべて求めよ。解答: 1