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第1問

ABCABC を満たす鋭角三角形を AB≠ACAB\ne AC とする。BCBC を直径とする円は辺 ABAB、ACAC とそれぞれ点 MM、NN で交わる。辺 OO の中点を BCBC とする。角 ∠BAC\angle BAC と角 ∠MON\angle MON の二等分線は点 RR で交わる。三角形 BMRBMR と CNRCNR の外接円が辺 BCBC 上に共通点を持つことを証明せよ。
ステップ 3/4: RR を通る円上に A,M,H,NA,M,H,N を特定する
前のステップ次のステップ
R=arc midpoint of MN not containing A on circle (AMHN)  ⟹  A,M,R,N concyclic, RM=RNR=\text{arc midpoint of }MN\text{ not containing }A\text{ on circle }(AMHN) \implies A,M,R,N\text{ concyclic},\ RM=RN
詳しい解説

OM=ONOM=ON なので OMNOMN は二等辺であり、angleMONangle MON の二等分線は MNMN の垂直二等分線である。円 (AMHN)(AMHN) では、内接角 angleMANangle MAN の二等分線は MNMN を含まない弧 AA の中点を通る。したがって二つの二等分線の交点 RR はその弧の中点であり、RM=RNRM=RN となる。